计算机是数学发展的必然产物
一位持有铅笔, 纸和一串明确指令的人类计算者, 可以被看做是一种图灵机. – 阿隆索·邱奇
图灵机是艾伦·麦席森·图灵在其 1936 发表的论文《论可计算数在判定问题中的应用》中提出的一种抽象计算模型, 同时也是计算机科学的重要理论基础, 曾经被广泛使用的冯·诺依曼型计算机就是图灵机的一种具体实现. 在论文中, 图灵首先将小数表达式可在有限步骤内计算出来的实数定义为可计算数, 然后设计了用于计算可计算数的机器, 并将其抽象成为一种后来被称作图灵机的计算模型.
这篇论文的贡献在于, 通过对人类进行机械式计算的过程给出形式化的描述, 图灵成功地定义了算法与通用计算机的概念, 并进一步证明了任何有限逻辑数学过程都可以通过图灵机计算. 在此基础上, 图灵证明了停机问题是无法通过图灵机判定的, 从而否定了希尔伯特在 1928 年所提出的”一阶逻辑命题存在通用判定过程”猜想. 几年后, 图灵在阿隆索·邱奇的指导下证明了图灵机与 λ 演算具有等价的计算能力, 并共同提出了邱奇-图灵论题, 明确了任何在算法上可计算的问题同样可由图灵机计算, 即给出了计算机的理论计算能力上限.
尽管通用图灵机和邱奇-图灵论题只是图灵在研究希尔伯特判定问题时衍生出的产物, 但在这两个理论的基础上却构建出了整个计算机科学理论体系. 计算机源于数学但又不仅限于数学, 计算机科学在诞生之初受数理逻辑、拓扑学、图论、计算理论等数学研究成果的影响很大. 随着时间的推移, 更多的应用类和工程类理论体系如: 操作系统、软件工程、人工智能等被逐渐添加到这个领域中. 但这一切都仍未脱离近百年前图灵构造的那个简单的通用计算模型. 为了纪念这位计算机科学的先驱, 国际计算机协会在 1966 年设立了计算机科学领域的最高奖项–图灵奖, 专门用于奖励那些对计算机事业作出杰出贡献的个人.
一个人的命运不能只靠自我奋斗, 同时也要考虑到历史的进程. 图灵绝对不会想到, 自己作为一个剑桥国王学院数学系的研究生, 怎么就成了现代计算机之父. 难道现代计算机的诞生只是偶然? 图灵为什么要去研究希尔伯特判定问题? 希尔伯特又为什么要构建牢固的数学大厦? 这一切都要从数学的历史说起.
算数与几何的诞生
作为对事物量度的一种抽象表示, “数”的概念普遍存在于各种形式的高级生命体中. 对人类文明来说, 记数系统的出现又给数这个概念赋予了通过符号进行计算和标记的能力, 其中能够书写的符号被称为数字. 人类对数学的认知起源于算术, 即按照一定规则对数字进行计算的过程, 在此基础上又产生了研究空间结构及性质的几何.
算术与几何的历史最早可追溯到尼罗河流域的古埃及文明以及两河流域的古巴比伦文明. 埃及人和巴比伦人不仅将数学广泛应用于记账、土地测量、历法推算等实际生活中, 还将数学应用于绘画、建筑、宗教等文化建设中, 甚至将数作为表达神秘主义思想的重要媒介.
古巴比伦人通过观察月相发现, 从新月到上弦月再到满月最后到下弦月, 每次变化都需要七天左右, 因此将”七”作为一个神圣的数字. 后来这种观点被希伯来人所接受, 并在《圣经》里写道: 上帝用六天时间造物和人, 第七天是休息日. 之后《圣经》随着天主教的兴起从中东地区经由古埃及传到罗马, 到了公元三世纪以后, 就广泛地散播到整个欧洲大陆, 一周七天也就逐渐成为了国际公历标准.
相比于巴比伦人对天文学的精通, 同一时期的埃及人则有着更高深的几何造诣. 现今对古埃及数学的认识, 主要来源于仅存的两卷用僧侣文写成的纸草书, 根据其中一卷存放在莫斯科普希金艺术博物馆中的纸草书记载, 埃及人在体积计算问题上达到了相当高的水平, 他们不仅知道通过底面积乘以高来计算圆柱体的体积, 还总结出了正四棱台的体积公式:
\begin{equation} V=\frac{h}{3}(a^2+ab+b^2) \end{equation}
古埃及人和古巴比伦人都在实践过程中积累了大量数学经验, 但这些记录在纸草书和泥板中的各种计算法则, 其本质仍属于算术的应用, 并且由于没有将这些经验上升为系统的理论, 数学的发展也随之趋于停滞. 然而, 古代实用算法积累到一定阶段, 对他们进行系统整理与理论概括就会成为必然的趋势. 这个向理论数学过渡的历史任务, 最终由更加开放的希腊文明完成, 同时也开启了初等数学的第一个黄金时代——以论证几何为主的希腊数学时代.
古希腊数学的发展
古希腊数学一般指从公元前六世纪到公元六世纪之间, 活动与希腊半岛、爱琴海区域、马其顿、色雷斯、意大利半岛、小亚细亚以及北非的数学家们创造的数学. 古埃及、古巴比伦甚至古印度文明的研究成果, 都深刻影响了在地中海区域兴起的古希腊文明.
论证数学的开端
作为古希腊文明早期的数学研究者, 泰勒斯通过经商游历了巴比伦和埃及, 并掌握了那里的数学和天文学知识. 根据欧德莫斯的记载, 泰勒斯将几何学从埃及引入希腊, 并与他的学生们一起证明了平面几何中的许多命题, 例如: 圆的直径将圆分成两个相等的部分; 等腰三角形的两个底角相等; 两条相交直线形成的对顶角相等; 如果两个三角形有两个角和一条边对应相等. 那么这两个三角形全等.
数学史上首个以数学家名字命名的定理就是”泰勒斯定理”, 泰勒斯借助一些公理以及真实性已经得到确认的命题证明了半圆上的圆周角是直角, 成功地将演绎推理的思想引入到数学中, 这是数学思想上的一次伟大变革. 此外, 希腊人对数学的另一重要贡献是让数学脱离了经验主义, 将算术与几何作为理论学科来研究. 而在数学之外, 泰勒斯和上古时期的哲学家们一样, 试图通过朴素唯物主义来解释世界的构成原理, 或更准确的说, 是研究事物的统一性. 正如春秋时期的老子选择了”道”, 泰勒斯选择了”水”, 而毕达哥拉斯却选择了”数”.
毕达哥拉斯与泰勒斯都属于扑朔迷离的传说人物, 根据普菲力欧斯在其著作《毕达哥拉斯的生平》中的记载, 毕达哥拉斯早年通过游历过埃及、巴比伦和印度, 学习了这些地方的数学知识, 在回到希腊之后定居在意大利南部, 通过传授数学和哲学知识培养了许多学生, 并逐渐形成了带有一定宗教色彩的毕达哥拉斯学派. 该学派致力于对哲学和数学的研究, 相传”哲学”（φιλοσοφια）和”数学”（μαθηματιχα）这两个单词的创造者正是毕达哥拉斯本人.
根据普罗克洛斯在《几何学史》中的记载, 毕达哥拉斯将数学改造为自由的教育形式, 并通过无形和理智的方式（演绎推理法）探讨其定理. 尽管柏拉图、阿波罗多洛斯甚至欧几里得等人将大量几何学成就归功于毕达哥拉斯学派, 但这个学派却将数是万物本源作为教义, 并且认为所有的数都可以通过整数或整数的比来表示, 将数作为一种神圣的宗教概念去信奉, 将算术与几何作为散播教义的工具, 将演绎推理法则作为证明教义的方式. 但古希腊的学者们对数学以及其他自然科学的研究仅仅建立在可观测到的事实基础上, 因此理论的完备性会显著受制于观测的手段与精度. 正如欧几里得无法解释无穷级数为什么会收敛一样, 毕达哥拉斯无法解释无理数的存在, 这动摇了学派的根基, 甚至影响了整个数学体系.
听说, 首先泄漏无理数的秘密者们终于悉数覆舟丧命.因为对不可说的和无定型的必须保密.凡揭露了或过问了这种生命的象征的人必定立遭毁灭, 并万世都被永恒的波涛吞噬. – 普罗克洛斯
根据柏拉图的记载, 随着越来越多的无理数被发现, 人们开始重新审视数这个概念, 开始怀疑之前推导出的数学定理是否正确, 甚至在计算过程中刻意避开这种无法表示的数. 这些无理数就像不可解读的咒语, 深深地困惑着从古希腊到工业时代的数学家, 直到十九世纪末期, 戴德金、康托尔、威尔斯特拉斯等人分别通过”分割”理论、”基本序列”理论、”有界单调序列”理论定义了实数域, 将无理数定义为实数域中用于填补有理数之间空隙的数, 并形成了实数理论, 这场持续了两千多年的无理数危机才算被彻底解决.
雅典时期的数学
公元前五世纪的希波战争以希腊城邦的胜利告终, 古希腊文明也随之进入了快速发展的时期, 雅典凭借其强大的海军力量成为了当时希腊地区的政治和文化中心. 在这段时间出现了以芝诺为代表的, 主张世界静止的伊利亚学派, 芝诺为了辩护这一哲学思想, 提出了大量运动悖论; 以希庇亚斯为代表的, 对自然哲学持怀疑态度的诡辩学派; 以柏拉图为代表的, 开创了形而上学思想的柏拉图学派. 尽管上述学派以哲学探讨为主, 但这些研究过程却极大地加强了希腊数学的理论化色彩.
对无穷概念的探索. 希腊人在探索数学的过程中, 不可避免地会接触到无限性、连续性等深刻的概念, 但在没有极限、连续、无穷级数等抽象概念的时代背景下, 很难通过直观的逻辑思考来应对这些在近代数学才被明确定义的概念. 根据亚里士多德在其著作《物理学》中的记载, 芝诺通过提出数个关于运动的不可分性的哲学悖论, 以非数学的语言, 记录下了最早同连续性和无限性作斗争的数学家们所遭遇到的困难. 芝诺悖论的提出, 让古希腊人开始思考动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系, 亚里士多德也将芝诺看作是辩证法的创造者. 对芝诺悖论的探讨深刻影响了原子论学派, 该学派的代表人物德谟克利特认为一切整体都由离散的基本单位构成, 这种看待事物的方式逐渐发展成了不可分量理论, 并成为了莱布尼兹创建微积分的指导思想.
对演绎逻辑结构的倡导. 如果说泰勒斯和毕达哥拉斯是演绎推理方法的创造者, 那么柏拉图和亚里士多德就是推动数学演绎化进程的杰出贡献者. 根据普罗克洛斯的记载, 柏拉图对数学的研究方法颇有造诣, 提出了分析法和归谬法用于证明几何定理, 并且首次明确了公理的概念. 柏拉图的这些思想在他的学生亚里士多德那里得到了极大的发展和完善, 通过将逻辑推理的过程进行规范化和系统化, 亚里士多德创立了形而上学的形式逻辑理论. 并为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论基础.
亚历山大的黄金时代
在亚历山大大帝征服雅典之后, 古希腊的政治中心就从雅典逐渐转移到了亚历山大城, 亚历山大时期是希腊数学几何发展的黄金时期, 这期间诞生了欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯等对数学发展作出重要贡献的杰出人物, 这个时期的大量研究著作被保存在亚历山大图书馆中.
欧几里得是希腊论证几何学的集大成者, 他的著作涵盖数学、天文、光学甚至音乐方面, 其中最著名的是通过公理推演的方式对当时的数学知识做了系统化、理论化总结的《几何原本》. 在这本书中包括 119 个定义和 465 条命题, 内容涉及平面几何、几何代数、比例论、数论等内容, 是记录公理化结构的最早范本. 公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域, 对数学的发展产生了不可估量的影响, 公理化结构已成为现代数学的主要特征. 用现代的标准来衡量, 《几何原本》在逻辑的严谨性上仍尚有欠缺, 欧几里得在书中对点、线、面等基础概念的定义较为模糊, 其公理系统也不完备, 许多证明不得不借助于观察和测量来完成, 并且部分公理不存在独立性, 即可以由其他公理推导出. 这些缺陷直到 1899 年才被德国数学家希尔伯特, 在其著作《几何基础》中, 通过建立完整且严谨的欧几里得几何公理体系而修复.
作为欧几里得最杰出的学生, 出生于西西里岛的阿基米德在数学、力学、天文学等方面有着极高的造诣. 阿基米德的数学研究主要集中于对面积和体积计算相关的问题上, 在《圆的度量》中, 他通过穷竭法将圆周率精确到 22/7; 在《论球和圆柱》中, 他又利用穷竭法估计出了球的表面积公式, 并且使用了一种类似”先微分再积分”的方法推导出了球体外接圆柱体的体积是球体体积的 3/2. 相比于欧几里得, 阿基米德的过人之处在于能够通过学科交叉来解决复杂的问题, 例如: 通过结合静力学和流体力学研究大量的关于计算长度、面积、体积和重心等几何问题; 利用杠杆原理确定抛物弓形的面积, 球和球冠的面积, 甚至是旋转双曲体的体积, 这些研究成果为数学和物理的发展做出了巨大的贡献.
阿波罗尼奥斯所著的《圆锥曲线论》是亚拉山大时期的重要数学成果之一. 代表了希腊几何的最高水平. 阿波罗尼奥斯通过相似三角形、比例转化等纯粹的几何手段, 创立了近乎完美的圆锥曲线理论, 成为了延续长达两千年之久的几何权威之作. 直到十七世纪, 笛卡尔和帕斯卡等人通过创造解析几何才让圆锥曲线理论得到进一步的发展.
希腊文明的衰落
盛极一时的学术中心亚历山大城也难逃战火的洗礼, 随着罗马帝国的兴起, 凯撒大帝在征服希腊时焚毁了位于布鲁却姆的亚历山大图书馆总馆, 希腊文明的半数珍藏毁于一旦. 尽管同影响深远的罗马法典和气势恢宏的罗马建筑相比, 罗马人在数学领域却鲜有建树, 但由于希腊文明的惯性影响, 以及统治者对自由研究的宽松态度, 罗马统治时期的亚历山大城仍然诞生了一批杰出的数学家和数学著作.
生活在公元一世纪的几何学家海伦, 在其著作《量度》中探讨了常见几何图形的面积和体积计算公式, 其中最出名的是后来以他名字命名的三角形面积公式——海伦公式:
\begin{equation} \Delta=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{equation}
其中, $s=\frac{a+b+c}{2}$. 海伦的几何学很大程度上是为了满足农业和建筑等测量方面的需要, 具有很强的罗马实用主义色彩, 这与希腊文化的纯理论研究思想形成了鲜明的对比. 在这之后, 克罗狄斯·托勒密创立了三角学, 将球面三角定理应用于特定的天文学问题中, 并创作出了历史上第一个有明确的构造原理并流传于世的系统的三角函数表, 而他在《天文学大成》一书中提出的地心说观点也深刻影响了天文学的发展, 被中世纪的基督教尊为教条.
在罗马统治时期, 希腊的代数研究开始逐步冲破几何的桎梏, 逐渐成为了独立发展的学科. 丢番图是古希腊代数研究的代表人物, 在他的著作《算术》中, 通过纯粹分析的手段处理了大量数论与代数问题. 此外, 作为最早通过代数方法对不定方程进行研究的数学家, 丢番图在《算术》中用希腊字母来代替变量, 改变了之前用文字叙述推理过程的冗长解题法, 为符号代数的出现打下了基础. 《算术》中最有名的一个问题是”将一个已知的平方数分为两个平方数”, 即费马大定理的灵感来源, 但这本书同样反映出了希腊代数过分依靠技巧且缺乏一般性的缺点.
亚历山大晚期的数学研究大多以对前代名家著作评注的形式进行, 《数学汇编》就是这样一部精粹前人成果的典型著作. 在这本书中不仅记述了大量前人的工作, 也包含了帕波斯本人的贡献, 例如证明了等周定理, 此外, 这本书也被当做研究希腊数学史的重要原始资料之一.
帕波斯的《数学汇编》被认为是古希腊数学的安魂曲. 随着基督教的兴起, 希腊数学与哲学的影响力日渐式微, 喧嚣尘上的基督教甚至将希腊学术视为异端邪说, 大量研究人员惨遭迫害. 公元 392 年, 狂热的基督徒纵火烧毁了重建后的亚历山大图书馆和存有大量手稿的塞拉比斯神庙, 希腊数学遭受重创. 公元 415 年, 亚历山大女数学家希帕蒂娅被一群残暴的基督徒当街杀害, 这预示了在基督教的阴影笼罩下整个中世纪欧洲数学的厄运. 公元 476 年, 随着西罗马帝国的灭亡, 希腊古代数学也正式落下帷幕.
参考内容
- 李文林. 数学史概论[M]. 高等教育出版社, 2002.
- Mathematics - Definition & History
- Apollonius