伟大罗马帝国的衰亡
同大部分现代国家一样, 罗马帝国在五贤帝时期确立的法律主要是为了保护有产阶级的财产, 统治阶级并不关心奴隶、农民、妇女的权利, 也不想维护所谓的公平和正义. 更糟糕的是, 为了维护国家内部稳定以及抵御波斯第三帝国和日耳曼蛮族等外敌的入侵, 从公元二世纪开始, 罗马政府的军事预算大幅增加. 而在军队权力与日俱增的同时, 底层民众的税务负担也显著增长.
到了公元三世纪, 罗马皇帝的实际可执行的权力因军队的强大影响而受到了相当程度的限制. 从公元 235 年昏君亚历山大·塞维鲁被叛军所杀, 到 284 年戴克里先即位, 这短短的半个世纪时间里, 竟然出现了数十位由军队推举出的国王或共治国王. 这些短命皇帝的平均在位时间不到两年, 并且几乎都死于战场前线或皇位继承权斗争. 例如: 德基乌斯皇帝在公元 251 年与侵犯多瑙河边境的西哥特人战斗时阵亡; 身先士卒的瓦莱里安皇帝在公元 260 与波斯帝国发生的边境战争中被俘虏, 并在羁押期间被残忍杀害. 这种发生在罗马帝国中后期的全面混乱现象又被称为三世纪危机, 曾经不可一世的强大帝国就此由盛转衰, 并最终走向分裂.
三世纪危机发生的根本原因, 是奴隶制生产关系固有的局限性无法满足庞大罗马帝国的生产力需要, 而皇位继承斗争的内耗与外部势力的不断骚扰, 也加速了国力的消耗, 其最终表现为中央政府的统治力衰弱, 文化影响力下降, 通货膨胀日益严重, 人民开始以物易物, 经济濒临崩溃. 而穷兵黩武的军队却为了自身的利益, 推举大量未受过良好教育的庸人成为国王, 这些无能者不仅无法解决这些危机, 反而通过向金币里添加杂质等卑劣的手段收割民众的财富, 这种状况直到戴克里先即位才有所好转.
戴克里先的失败改革
出身低微的戴克里先在公元 284 年打败了自立为王的卡里努斯之后, 成为了罗马帝国的实际统治者. 在他的统治下, 元老院被剥夺了最后一点实际权力, 罗马由共和制彻底转变为专制君主制, 完成了屋大维的夙愿. 戴克里先的执政时间长达二十年, 最终在公元 305 年主动退位, 其在位期间实施了大量政治和经济方面的改革, 但此时的罗马帝国已是强弩之末, 改革也因此收效甚微.
戴克里先首先通过确立四帝共治制度, 尝试解决混乱的皇位继承问题. 罗马并没有规定君主的统治时间, 传位制度也十分混乱, 有禅让制, 有世袭制, 甚至还有”禁卫军政变制”. 而所谓的四帝共治, 就是将帝国分为东西两部分, 分别由被称为”奥古斯都”的皇帝来统治; 每位皇帝需要指定一位被称为”凯撒”的继承人, 同时也作为皇帝的助手参与国家治理. 这个看似完美的制度在戴克里先在位期间运行良好, 但在他退位后便迅速崩溃. 公元 306 年, 西部凯撒之子——君士坦丁记恨于自己没有被任命为下一任凯撒, 遂在不列颠和高卢起兵造反. 经过漫长的内战, 君士坦丁最终再次统一了罗马帝国, 四帝共治制度也被废除. 从结果来看, 四帝共治是一次完全失败的改革, 不仅没有达到维护国家稳定的目的, 反而加速了罗马帝国的分裂.
戴克里先改革的另一个重要方向是政府和军队. 他首先加强皇帝的中央集权, 禁卫军统领的权力被大幅削弱, 让军队完全在两个奥古斯都的掌控之下; 他减少在公众面前露面的机会, 将皇帝描写成半神半人的化身与最高祭司, 树立最高统帅的权威; 然后修改宪法, 彻底取消共和制, 并扩充军队到四十万, 巩固边疆守备. 为了维护政府和军队的开销, 戴克里先提高了赋税比例, 并且试图通过计划经济来阻止通货膨胀, 但收效甚微. 甚至出现了地下交易市场. 随着价格控制的失败, 戴克里先只有依靠配给制, 将军队和政府的物资供应与市场彻底隔绝, 通过征收实物税确保军队和政府所需, 而任由普通百姓在通胀中自生自灭.
戴克里先在位期间颁布了首个迫害基督徒的法令, 他们的财产被收缴, 书籍被焚烧, 甚至被大量处死. 但这样血腥的镇压也激化了罗马的内部矛盾, 让国内的精英阶级专注于有关神学的愚蠢争执之中, 而戴克里先的皇宫也被愤怒的民众多次烧毁. 这场声势浩大的迫害行动, 一直持续到 313 年君士坦丁一世颁布米兰敕令为止.
君士坦丁对基督教的皈依
罗马帝国在成立之初就是一个信仰自由的国家, 因此在征服埃及和希腊后, 罗马不仅没有贬低他们的宗教信仰, 反而将诸神引入, 形成了多元化的宗教氛围. 但发源于巴勒斯坦地区的基督教, 却因为与罗马人的价值观格格不入而一直被视作异端.
基督徒之所以受到谴责和迫害, 最常见的原因在于他们的政治思想. ……基督徒因为不肯礼拜凯撒而被罗马管理者看做罪大恶极的社会煽动者, 非加以惩处和消灭不可. ——帕尔默《现代世界史》
在民众生活方面, 基督教否认世俗和物欲, 这让习惯于出入剧院、澡堂、竞技场、庆典等娱乐设施的罗马民众感到厌烦; 在政治方面. 基督教主张和平, 这妨碍了罗马独裁军政府对外扩张的步伐, 因此被统治者排挤与打压; 在教义方面, 基督教作为新兴的宗教竟然反对多神论, 无法与罗马的其他宗教和睦相处, 自然收到其他宗教的联合迫害. 但奇怪的是, 这样一个对罗马价值观全面否定的宗教, 却因为君士坦丁的皈依而获得了巨大的地位提升, 并在之后逐渐成为了罗马唯一的合法宗教.
基督教在罗马兴起的根本原因是统治阶级对底层民众的过度剥削, 是长期阶级矛盾积累的恶果, 而基督教的受众, 正是那些不受罗马法律保护的底层民众. 在经济崩溃, 人口骤减的罗马后期, 君士坦丁为了维护社会稳定, 不得不进行战略妥协, 因此他和东部奥古斯都李锡尼共同签署了对基督教的宽容诏令——米兰赦令, 通过归还基督徒财产、对部分基督徒免税、提升主教地位等政策拉拢基督徒, 企图借助宗教的力量来欺骗并麻痹民众.
从君士坦丁开始, 罗马皇帝不仅仅是人民的统治者, 还多了教会元首的身份, 教会和国家在这个时代开始混合在一起. 到其驾崩的公元 337 年, 罗马已经有半数人民皈依基督教, 而军队中基督徒的比例要更高. 随着基督教在罗马帝国的广泛传播, 教会势力逐渐壮大, 并在公元 393 年被狄奥多西一世正式确立为罗马帝国唯一合法的宗教, 到 395 年东西罗马帝国分裂时, 至少有 90% 的罗马人信仰基督教.
罗马帝国的分裂与灭亡
在废除四帝共治制度之后, 君士坦丁将帝国的都城迁移至位于亚欧大陆交界处的拜占庭, 并将其改名为君士坦丁堡. 公元 395 年, 最后一位统一罗马帝国的皇帝狄奥多西一世驾崩, 他的两个儿子分别继承了罗马帝国的东西两部分, 从此罗马帝国正式分裂.
经济较为富裕的东罗马帝国, 即拜占庭帝国, 延续了一千多年, 直到 1453 年才被奥斯曼帝国灭亡, 是欧洲历史上最悠久的君主制国家. 由于东罗马帝国一直实行中央集权, 教会的权力也因此受到限制, 基督教始终被作为维护国家政权的工具而存在, 并慢慢衍生出了基督教的重要分支——东正教. 此外, 拜占廷帝国完全采用希腊语作为官方语言, 因此继承了希腊人热爱文史哲的研究的传统, 并高度重视图书馆建设, 这为其之后的伟大复兴打下了坚实的文化基础. 但在经历了从九世纪到十一世纪的黄金时代之后, 强大的拜占庭帝国也不可避免地走向衰落. 帝国灭亡后, 莫斯科大公伊凡三世迎娶了末代皇帝君士坦丁十一世的侄女索菲娅公主, 宣布成为东正教的保护人, 因此后来的沙皇俄国也就顺理成章地成为了拜占廷帝国的精神继承者——第三罗马.
而实力较弱的西罗马帝国就没那么幸运了, 尽管在分裂初期仍然能够维持罗马式的管理, 但由于当时的西部地区存在大量荒地, 人口数量明显不足, 经济由于连年的内乱也濒临崩溃, 日薄西山的帝国无法维持强大的军队来守备边境. 公元 410 年, 北方的日耳曼蛮族——西哥特人, 在领袖亚拉里克一世的率领下攻入意大利, 对罗马城进行了数次掠夺, 此后在西罗马帝国境内建立西哥特王国. 公元 452 年, 匈人首领阿提拉也攻入意大利本土, 并摧毁了包括阿奎莱亚在内的许多重要城市, 皇帝瓦伦提尼安三世受到惊吓, 决定派罗马教皇利奥一世和元老院首席议员阿维图斯去与之议和, 最终阿提拉接受了议和条款并撤军. 此后的西罗马帝国又遭受数次外敌侵扰, 最终在公元 476 年, 罗马雇佣兵领袖奥多亚克废黜西罗马末代皇帝罗慕路斯·奥古斯都, 西罗马帝国覆灭, 欧洲进入中世纪.
罗马不是一日建成的, 当然也不会毫无征兆的突然倒塌. 尽管我们很难给帝国的毁灭找到绝对合理的解释, 但政治和军事上的软弱, 经济的不稳定, 以及文化影响力的弱化, 都是导致西罗马帝国最终走向毁灭的重要影响因素. 罗马的政治体制随着版图的扩张, 经历了从古典共和到寡头政治再到独裁专制的转变. 在财富和权力不断向贵族和统治阶级集中的同时, 底层人民的爱国热情也随之消减, 伴随着帝国后期的人口锐减, 军队只能从周边的蛮族中招募士兵, 这无异于饮鸩止渴. 最终, 当被日耳曼人掌控的禁卫军能够随意罢黜罗马皇帝的时候, 名存实亡的西罗马帝国就彻底丧失了东山再起的机会.
按照以爱德华·吉本为代表的灾难论学派的观点, 西罗马帝国灭亡之后, 欧洲大陆在文化, 经济、城市化建设等方面都出现了严重的倒退. 在文化方面, 欧洲民众的文字读写能力显著下降, 知识仅仅掌握在少量基督教的教士手中, 大部民众沦为只知道种地的机器, 沉浸在基督教给他们许诺的美好幻想之中; 在经济方面, 蛮族瓜分了帝国的遗产, 形成了大量独立且互不信任的小国家, 贸易量显著减少, 条条大路通罗马的盛况不复存在; 在城市建设方面, 由于社会更加孤立, 下水道, 竞技场, 剧场, 澡堂等大型公共基础设施也不复存在, 城市中的建筑变得更加原始, 逆城市化现象十分严重.
而较为乐观的当代社会学家兰德尔·柯林斯却认为: “西罗马帝国的灭亡并不是文明的消失, 这仅仅是无法继续维持的政府机构的崩溃”, 当国家机器停止运行之后, 它的文化却得以延续, 欧洲大陆的人们仍然说着拉丁语, 用着罗马法, 过着罗马式的生活. 西罗马帝国的灭亡标志着西欧与北非奴隶制度的终结, 欧洲从此进入漫长的封建时期——中世纪. 此外, 由于帝国版图被蛮族瓜分, 欧洲大陆从此走向分裂, 再也没能建立长久的统一政权.
中世纪的欧洲数学
在吞并希腊之后, 罗马帝国的教育方式和教育水平都得到了巨大提升, 大批希腊学者成为了罗马人的教师, 而学校也开始在帝国的版图中大量兴建. 罗马帝国面向普通民众的初等教育包括文字读写和数字计算, 而像几何、天文、音乐、修辞等相对复杂的知识, 则只有少部分有权势的男性公民才能学习. 鼎盛时期的罗马, 拥有完善的上层阶级教育体系, 权贵家的孩子们从小学习希腊语, 并在希腊哲学家的引导下, 进行自然哲学和数学的研究. 罗马贵族将学术研究当做消遣, 但他们更专注于通过科学手段来解决实际问题, 对希腊哲学中异想天开的抽象观念却嗤之以鼻.
然而, 随着西罗马帝国的灭亡, 动荡的欧洲大陆无力支撑这种教育体系, 而相对稳定的罗马天主教会, 为了向民众普及《圣经》中的福祉, 则承担起了中世纪教育的重任. 当然, 这种教育是掺杂了大量神秘主义的, 在客观上禁锢了自由的学术思想.
罗马教会影响下的教育体系
作为十八世纪启蒙运动时期最伟大的历史学家, 爱德华·吉本在其著作《罗马帝国衰亡史》中坚称基督教是导致罗马帝国毁灭的罪魁祸首, 并大肆宣扬中世纪时期的教会对欧洲的思想禁锢. 无论是从文艺复兴时期的人文主义角度分析, 还是从启蒙时代的理性主义来看, 对基督教的诋毁和抨击似乎都是政治正确的体现. 但如果以中立客观的方法去理解中世纪的历史, 则不难发现, 教会为罗马和希腊文化的延续做出了重要的贡献, 尤其是在公民教育普及和古典文献翻译方面.
在中世纪早期, 即公元六到八世纪, 修道院是欧洲教育的主要场所. 作为修道院制度的创立者, 圣本笃规定神职人员除了按照规定做礼拜之外, 还可以执行圣经抄写和希腊文献翻译工作. 而在闲暇之余, 教士们向民众传授拉丁文的读写方法, 并讲授圣经中的故事, 这显著加速了罗马天主教在欧洲的传播. 在这段动荡的时期, 教会通过将教育作为神学传播的工具, 成功地保住了希腊和罗马的自然哲学、数学、建筑工艺等研究成果, 但相对的, 由于战乱导致当时的社会缺乏自由的学术研究氛围, 中世纪早期的西欧没有产生任何创造性的学术贡献.
公元八世纪丕平献土发生之后, 教皇国和罗马教会的影响力开始散布到整个欧洲, 教权逐渐凌驾于王权之上. 法兰克王国的查理大帝通过战争控制了大半个欧洲的版图, 并与罗马教皇建立了牢固的政治联盟之后, 原本混乱的大陆逐渐趋于稳定, 对古典文化和自然科学的研究也逐渐复兴. 查理大帝在位期间积极推动教育改革， 在全法兰克帝国境内修建修道院和大教堂学校, 并亲自下令让教士们收集翻译古代的书籍, 让古典科学和哲学思想进一步传播. 宗教和哲学的融合也始于这一阶段, 主教们开始探讨的《圣经》中所蕴含的哲学问题, 例如: 恶的定义, 身体与灵魂的关系, 对赎罪和救赎的理解. 这段时期的哲学发展也主要围绕这些问题展开, 诞生了像《语源学》、《物性论》、《论自然》这类带有明显希腊哲学倾向的研究著作.
而到了公元十一世纪左右, 欧洲大陆终于迎来了短暂的和平, 政治稳定带来了商业和学术的繁荣, 进而推动了生产力的发展. 农耕工具的改机和水车的推广, 让粮食产量大幅增加, 人口数量随之增长, 像伦敦、巴黎、科隆这样的大规模城市也开始在西欧兴起. 当时的教育资源被天主教牢牢把控, 且教学的内容也大多是关于神学和哲学方面的探讨, 而手工业和商业的发展则迫切需要大量能读会写, 且具备计算、几何、物理等专业知识的人才, 因此, 在政府的支持下, 巴黎大学、牛津大学、博洛尼亚大学、海德堡大学等世俗化的教育机构被悉数建立. 由于摆脱了教会的控制, 大学的教学内容也更加多元化, 医学、法学等新兴学科逐渐成为学术研究的热点.
随着自然科学提升到了与神学平等的地位, 天主教徒们也希望用科学的手段解释《圣经》中上帝创造万物的现象, 但事与愿违, 理论的漏洞在研究过程中不断显现, 神学的合理性也不断遭受质疑. 但这种反对上帝的思想在中世纪是极为危险的, 因为教会的力量实在是过于强大, 圣殿骑士团随时可能将你作为异端而当众审判.
因为他们对自然力一无所知并希望所有人同他们一样无知, 他们就不情愿让任何人研究它们, 而是希望我们像乡下人一样轻信、并且不去探寻事物的自然原因. 然而, 我们说每个事物的原因都需要去寻求……但这些人……如果他们知道有人这样研究, 就将之职责为异端.
宗教与科学之间的矛盾最终在十三世纪的巴黎爆发, 天主教会首先禁止了巴黎的大学讲授亚里士多德的《物理学》和《形而上学》, 然后谴责了反对上帝创世论的阿威罗伊主义, 并将大量命题确立为异端邪说. 这些做法在短时间内压制了自然科学对教廷理论的威胁, 但这种压迫也让反对神学为权威的人文主义在欧洲大陆逐渐兴起.
十字军东征与东方数学的引入
从公元七世纪开始, 阿拉伯半岛上原本是一盘散沙的各个部落, 开始逐渐以伊斯兰教为核心, 建立了统一的阿拉伯穆斯林国家——阿拉伯帝国. 到了十一世纪, 信奉伊斯兰教的塞尔柱突厥在中东地区兴起, 这些战斗力强大的塞尔柱人不仅灭亡了阿拉伯帝国, 还在占据了巴勒斯坦之后对基督徒到耶路撒冷的朝圣活动进行了限制, 而他们对圣地的亵渎也激化了基督教与伊斯兰教之间的矛盾. 公元十一世纪末期, 罗马帝国皇帝亚历克塞一世因无法抵抗塞尔柱突厥人的进攻, 向罗马教皇乌尔班二世求救，这就恰好给了罗马教会一个发动侵略战争的借口. 1095 年 11 月, 乌尔班二世在法国克勒芒宗教大会上发表演说, 号召所有基督徒团结起来, 一起到东方与异教徒作斗争. 在教皇的煽动下, 农民、骑士等各个阶层都纷纷报名参军, 历时两个世纪的侵略战争——十字军东征, 便在宗教的旗帜下以圣战的名义开始了.
第一次十字军东征（1096—1099）以天主教的胜利告终, 耶路撒冷于 1099 年 7 月 15 日被攻陷. 在占领圣城之后, 十字军按西欧封建制度建立了政教合一的耶路撒冷拉丁王国, 同时设立了安条克公国、的黎波里伯国及埃德萨伯国等附属国. 为了保护十字军所掠夺的领土, 教皇还专门设立了圣殿骑士团、条顿骑士团、圣约翰骑士团, 旨在镇压当地居民反抗以及同周边伊斯兰教国家作战. 然而战争并未终结, 骑士团对伊斯兰教徒的排挤和压迫激化了宗教之间的矛盾, 伊斯兰国家的抵抗也从未停止. 随着摩苏尔的赞吉王朝在 1144 年收复埃德萨, 伊斯兰国家的反攻号角正式吹响, 之后的几年里, 耶路撒冷拉丁王国被迫放弃了大部分领土, 法德两国在教皇的允许下, 以此为借口发动了第二次十字军东征（1147—1149）. 但这次远征却因为联军内部的互相猜忌而失败, 不仅没有攻下埃德萨, 反而让周边的穆斯林国家在埃及苏丹萨拉丁的领导下获得统一, 并在 1187 年夺回了圣城耶路撒冷. 恼羞成怒的罗马教廷, 联合德皇腓特烈一世、法王腓力二世和英国狮心王理查一世, 为了收复整个巴勒斯坦而发动了第三次十字军东征（1189—1192）. 可笑的是, 由于拜占庭国王伊萨克二世被萨拉丁收买, 十字军的进攻因此受到了重重阻挠. 越想越气的德皇在率军渡河的途中, 不幸心脏病发作而淹死在河中, 他的部队随之解散; 而法王为了解决国内的纠纷以及维护法兰西在西欧的利益也提前撤军, 只剩下狮心王查理在前线苦苦支撑, 致使耶路撒冷久攻不下. 迫于无奈, 查理一世在 1192 年与萨拉丁签订了和解条约, 穆斯林保留圣城耶路撒冷, 而基督徒则被允许到耶路撒冷朝觐且不用额外缴纳贡品.
西欧人通过战争体会了伊斯兰文明的繁荣, 逐渐改变了盲目自大的宗教排斥情绪, 并开始主动进行学术的交流. 现在国际通用的阿拉伯数字, 尽管是由印度文明发明的, 但却经由阿拉伯人之手传入欧洲, 并被斐波那契在其著作《计算之书》中发扬光大. 而像《移项和集项的科学》、《天文论著》、《圆锥曲线论》、《圆的度量》等深刻影响欧洲数学发展的著作, 也是在十字军东征时期被翻译为拉丁文, 算法（algorithm）一词就是源自阿拉伯数学家阿尔·花剌子模的拉丁文名字. 前三次十字军东征虽然使两大文明在较量中加深了彼此之间的了解, 但拜占庭帝国的背叛却为第四次十字军东征（1202-1204年）提供了借口. 拜占庭东正教会与罗马天主教会因社会、政治、语言、文化传统等方面的差异积怨已久, 最终在 1054 年互相开除教籍, 这导致东西教会大分裂. 此后, 罗马教会一直筹划发动针对东正教的宗教战争, 但阿拉伯帝国的崛起却让异端审判的矛头指向了穆斯林. 在经历了三次十字军东征之后, 基督徒与穆斯林之间迎来了短暂的和平, 而拜占庭帝国的实力却因身处战场前线而被显著削弱. 1202 年, 在教皇英诺森三世的鼓动下, 西欧各国再次组织了十字军向东方进发, 然而他们这次的目标却是信仰东正教的拜占庭帝国. 1204 年, 第四次十字军东征因君士坦丁堡的陷落而宣告成功, 拜占廷帝国从此四分五裂, 直到 1261 年才短暂复国.
最后一次大规模十字军东征发生在十三世纪末期, 法兰西国王路易九世为报被俘之仇, 亲率六千骑士前往突尼斯, 试图攻下埃及, 但最终病死在北非的茫茫沙漠中. 此后, 基督教在巴勒斯坦的最后据点阿卡被埃及人占领, 十字军国家不再拥有任何圣地领土, 持续长达两个世纪的十字军东征就此落下帷幕.
瘟疫与中世纪的终结
中世纪的欧洲大陆曾爆发过两次大规模瘟疫, 第一次是发生在公元六世纪的查士丁尼瘟疫, 其影响范围主要在拜占庭帝国内部, 这让查士丁尼企图恢复罗马往日荣光的夙愿彻底破灭. 而发生在十四世纪的第二次鼠疫大流行——黑死病, 则彻底改变了西欧的政治局面, 封建专制和罗马教会的影响力从此走向衰弱, 文艺复兴的时代正式到来.
查士丁尼的叔叔查士丁一世, 凭借赫赫战功成为了罗马禁卫军首领, 并通过罗马传统艺能”禁卫军继承法”成功夺取王位, 查士丁尼也顺理成章地成为了继承人. 查士丁尼即位之后, 一直致力于重建伟大的罗马帝国, 因此他从经济、政治、军事等方面对拜占庭帝国进行了改革. 在经济方面, 他鼓励工商业的发展, 并通过税收改革充实了国库, 但过重的税务负担却加剧了社会矛盾; 在法治发面, 他下令编纂《民法大全》, 试图通过法律规范的系统化来维护封建地主阶级的权利; 在军事方面, 他进行了指挥系统的改革, 并重用贝利萨留, 之后用了近二十年时间收复了大部分西罗马帝国的领土, 地中海再次成为了罗马帝国的内海. 然而, 连年的战争与大兴土木让拜占庭的国力大幅消耗, 更糟糕的是, 从公元 541 年开始流行的大瘟疫, 彻底粉碎了查士丁尼称霸欧洲的雄心.
查士丁尼瘟疫显著削弱了拜占庭帝国的实力. 按照《牛津拜占庭史》的估计, 此次瘟疫使君士坦丁堡丧失了三分之一的人口, 而由于瘟疫肆虐的主要地区是人口密度大的海港、城市和军营, 因此帝国的经济和军事能力遭受重创, 之前收复的领土不仅尽数丢失, 帝国的核心领土也被波斯人和匈人侵占.
在政治方面, 这场瘟疫降低了帝国统治阶级的公信力, 同时代的拜占庭历史学家普罗柯比对查士丁尼的态度从早期将其视为”伟大罗马帝国的保护者”的推崇备至, 转变为瘟疫爆发后的恶毒咒骂——”他本质上是愚蠢和邪恶的特殊混合物”. 皇帝查士丁尼被感染期间, 军队妄图发动政变并拥立新的国王. 但皇帝在奇迹般地康复后对发动叛乱的军官进行了大清洗, 贝利萨留这样的优秀将领也难逃厄运. 此外, 由于瘟疫对人口数量的影响, 拜占庭帝国自查士丁尼时代以后经历了长达一个世纪的人力短缺, 帝国被迫采取针对斯拉夫人的移民政策.
而在精神生活方面, 高死亡率引发的社会恐慌, 让人民的价值观和伦理观也随之改变. 至少那些具有”先进思想”的拜占庭知识分子都众口一词地把大瘟疫归于上帝的惩罚, 这进一步强化了基督教在拜占庭的主流意识形态地位.
接下来还要发生什么事情我也不清楚, 因为这是上帝所掌控的, 只有他知道瘟疫的原因和走向. – 埃瓦格里乌斯
此后的一段时间, 基督教的影响力在欧洲达到顶峰, 尽管经历了天主教与东正教的分裂, 但这未能改变主教们在行政管理、文化教育、社会服务等方面发挥的重要作用. 鼎盛时期的罗马教会, 不仅拥有大量的土地, 还能够直接向信徒征收什一税, 甚至可以直接任免欧洲各国的皇帝. 在这样的时代背景下, 人民理所应当地认为教会能给予他们必要的保护, 但黑死病的悄然降临却完全颠覆了社会的秩序.
十四世纪的欧洲人民被天主教的价值观和世界观所支配, 他们相信通过苦修禁欲、恪守清贫, 能够在死后获得灵魂的救赎. 但主教们在灾难面前的无能为力, 使得许多人开始怀疑天主教会所宣扬的观念, 从教会上层到普通百姓都开始奉行享乐主义, 因为没有人知道自己什么时候会染上瘟疫, 人人都想追求现世的幸福, 以人为本的观念开始萌芽. 到了十五世纪, 随着奥斯曼帝国的不断扩张, 君士坦丁堡最终在 1453 年陷落, 拜占庭的学者们带着大量古希腊和罗马的艺术珍品以及文学、历史、哲学等书籍前往西欧避难, 古典文化开始在欧洲复兴. 而十六世纪的宗教改革与新教的诞生则进一步削弱了罗马教会的实力, 伴随着文艺复兴的曙光与大航海时代的浪潮, 欧洲的中世纪正式走向终结.
中世纪的中国数学
与注重命题形式推导的古希腊数学不同, 古代中国对数学的研究更倾向于对算法的概括, 即研究同类问题的通用计算方法. 中国古代数学文献中已经包含了对极限、分割、组合以及朴素微积分思想的讨论, 但由于公理化体系的缺失, 导致大部分结论都没有严谨的推理过程, 这让数学的进一步发展陷入困境. 此外, 受制于地理、文化差异等因素, 中国古代鲜有与外界的学术交流, 这也导致中国数学很难在世界范围内造成显著影响.
数学的发展会带动生产力的进步, 而社会对生产力的需求又会促使数学理论向更深层次去探索, 这正是欧洲近两百年来数学一直处于领先地位的原因. 但在封建时期的中国, 显然不具备这样的社会条件, 因此一直无法完成从古典初等数学到近代高等数学的质变, 而这种差距直到二十一世纪也未能有效地缩减.
圆周率与立体几何
西汉时期的《周髀算经》是现存的中国古代数学著作中最古老的一部, 书中的内容涉及数学和天文学, 其中最为人熟知的是勾股定理. 但这本书仅以文字的形式叙述了勾股定理, 并没有给出证明, 直到三国时期的赵爽通过巧妙地构建赵爽弦图, 才完成了这一定理的证明.
《九章算术》是两汉时期的另一个重要数学著作, 其内容涵盖算术、代数、几何等方面, 对中国传统数学的发展造成了深远的影响. 在算术方面, 《九章算术》中给出了完整的分数四则运算以及通分和约分方法, 并且提出了数字比例算法; 在代数方面, 书中提供了大量通过移项消元法计算线性方程组的例题, 并且提供了一种通过构造方程进行开平方的算法, 值得一提的是, 现代汉语中的”方程”和”开方”这两个词也最早出自于这本书; 在几何方面, 书中推导的平截四棱锥体积公式是完全正确的:
\begin{equation} V=\frac{h}{6}[ (ab + d)a + (ad + b)c ] \end{equation}
此外, 在《九章算术》中采用了正确的圆面积公式, 但圆周率的取值并不精确, 直到南北朝时期, 祖冲之才通过沿用魏晋时期刘徽的割圆术将圆周率精确到小数点后六位, 并通过出入相补法成功推算出了正确的球体积公式.
开方术与多项式求解
隋唐时期的封建教育开始注重数学能力的培养, 科举考试也开始添加明算科目, 唐高宗更是亲自委派李淳风将前代的数学著作整理为《算经十书》, 并将其当做明算科目的教科书. 但可惜的是, 隋唐时期的大部分数学研究成果均在唐宋交际的五代十国动乱时期遗失了, 《算经十书》中祖冲之所著的《缀术》也未能幸免. 到了宋元时期, 重新统一的中国封建社会促成了商业的繁荣和手工业的兴盛, 由此引发的科技进步给数学的发展带来了新的活力. 在宋元时期涌现了诸如: 杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等杰出数学人才, 他们的研究成果在世界数学史上也占有光辉的地位.
高次方程的数值求解方法是宋元数学最突出的成就, 我们熟悉的杨辉三角就是$(x+a)^n$二项式展开的各项系数表; 贾宪提出的增乘开方法与现代计算机中采用的霍纳法则基本一致; 南宋的秦九韶在其著作《数书九章》中也提出了一种能够求解十次项开方的正负开方术.
秦九韶的另一项贡献是对一次同余方程组问题给出了系统性的解答, 即数论中的中国余数定理, 其思想的现代符号描述如下, 设有一次同余组:
\begin{equation} N=R_i(mod \ a_i), i=1,2,…,n \end{equation}
现假定模数$a_i$两两互质, 那么只要求出一组数$k_i$, 满足:
\begin{equation} k_i\frac{M}{a_i}=1(mod \ a_i), i=1,2,…,n \end{equation}
就可以得到适合给定的一次同余组的最小正数解为:
\begin{equation} N=(\sum_{i=1}^{n}{R_ik_i}\frac{M}{a_i})-pM \end{equation}
其中$p$为整数,$M=a_1\times a_2\times…\times a_n$. 但这一定理的证明却是由欧拉和高斯分别独立完成的. 秦九韶对同余式求解问题的研究主要是为了解决天文历法中的历元问题.
插值法与等差数列求和
早在三国时期, 刘洪在《乾象历》中就通过一次插值公式来计算月亮的运动轨迹, 但由于月球的运动是非匀速的, 这个方法存在很大的误差. 后来在公元七世纪左右, 刘焯在《皇极历》中通过二次插值公式重新计算了日月五星的行进轨迹, 但由于天体运动的加速度也不均匀, 二次差值得出的结果仍不够精确. 宋代的郭守敬、王恂等人在《授时历》中首次使用三次插值法计算行星轨迹, 但却没有明确给出计算公式, 直到元代, 数学家朱世杰才提出高次项插值公式的一般形式:
\begin{equation} f(n) = n\Delta + \frac{1}{2!}n(n-1)\Delta^2 + \frac{1}{3!}n(n-1)(n-2)\Delta^3 + \frac{1}{4!}n(n-1)(n-2)(n-3)\Delta^4 \end{equation}
这个公式在形式上已经与现在通用的格雷戈里-牛顿公式相一致, 朱世杰在推到这个公式时用到了高阶等差数列求和的知识——垛积术.
对高阶等差数列的研究始于北宋的沈括, 在其著作《梦溪笔谈》中提到了几个特殊的数列求和公式, 朱世杰在《四元玉鉴》中对这些公式进行了一般化推导, 得出了$p$阶等差级数求和的一般公式:
\begin{equation} \sum_1^n \frac{1}{p!}r(r+1)(r+2)…(r+p-1) = \frac{1}{(p+1)!}n(n+1)(n+2)…(n+p) \end{equation}
《四元玉鉴》中不仅指出了杨辉三角与多项式系数的关系, 还通过创造天元术和四元术做了代数符号化的尝试. 美国著名科学史家乔治·萨顿对朱世杰和《四元玉鉴》有着极高的评价: “(朱世杰)是中华民族的、他所生活的时代的、同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学科学家.”; “《四元玉鉴》是中国数学著作中最重要的, 同时也是中世纪最杰出的数学著作之一. 它是世界数学宝库中不可多得的瑰宝.”
中国古代数学的衰落
元末之后, 朝代更替的封建社会表现出日趋严重的停滞性与腐朽性, 数学与工业的发展缺乏社会动力与思想刺激, 而明清时期科举制度中明算科目的废除更是助长了八股取士的不良风气, 数学研究者没有出路, 中国传统数学的发展陷入僵局, 甚至有所倒退. 同时, 中国古代数学的研究方法本身也存在弱点, 基于筹算系统发展的符号代数不仅笨拙累赘, 而且无法处理五个以上的未知量, 此外, 对演绎论证的轻视导致大量经验算法无可靠理论支撑, 这些都导致中国古代数学无法进一步向现代数学发展. 而在明末由徐光启等人引进的西方代数体系和几何推理体系都因为天朝帝国的妄自尊大、固步自封而无法得到有效地传播与推广. 而到了十七世纪, 近代数学在欧洲蓬勃兴起之后, 中国数学已经难以望其项背.
参考内容
- 戴维・林德伯格. 西方科学的起源[M]. 湖南科学技术出版社, 2016.
- 雅克・勒戈夫, 张弘. 中世纪的知识分子[M]. 商务印书馆, 1996.
- 田薇. 信仰与理性:中世纪基督教文化的兴衰[M]. 河北大学出版社, 2001.
- 李文林. 数学史概论-第2版[M]. 高等教育出版社, 2002.