文艺复兴时期的数学发展
欧洲数学的复苏过程十分曲折, 从十二世纪到十五世纪中叶, 教会中从事经院哲学的研究者们, 利用希腊和阿拉伯文献中的消极成分来阻碍科学理论的发展. 罗马教廷将亚里士多德、托勒密、欧几里得等人的观点奉为绝对正确的教条, 不允许出现任何的反对或质疑的声音, 企图利用权威主义继续束缚人们的思想. 斐波那契是十二世纪最有影响力的数学家, 在其著作《计算之书》和《几何实践》中囊括了大量希腊与东方数学的经典命题. 此外, 他还热衷于将阿拉伯记数系统应用于记账、重量计算、利息、汇率等问题的研究中, 十进制计数方法和阿拉伯数字也因此逐渐在数学应用方面取代罗马数字, 并最终推广到整个欧洲. 热爱数学和科学的腓特烈二世特地聘请斐波那契作为宫廷数学竞赛的负责人, 为神圣罗马帝国培养数学人才, 这些问题都被收录于其著作《花朵》中. 当然, 斐波那契最为人所知的是以兔子繁殖为例而引入的斐波那契数列和以几何形式存在的斐波那契螺旋.
代数学的再次兴起标志着欧洲数学的正式复苏. 十五世纪的数学家们仍然被高次方程的求解方法所困扰, 直到 卡尔达诺和费罗的出现才给出了三次方程的代数解法. 卡尔达诺在其著作《大法》中公布了现在被称为卡尔达诺公式的求解任意形如$x^3+px+q=0$的复系数三次方程的方法, 即$x=\alpha+\beta$, 其中:
\begin{equation} \alpha=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}} \end{equation}
\begin{equation} \beta=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{p^3}{27}+\frac{q^2}{4}}} \end{equation}
\begin{equation} \alpha\beta=-\frac{p}{3} \end{equation}
在《大法》中同样收录了卡尔达诺的学生费拉里提出的通过配方法求解一元四次方程的方法. 但在求解的过程中不可避免地会遇到虚数, 这阻碍了高次方程理论的进一步发展, 最终在邦贝利、韦达、笛卡尔、牛顿等人的共同努力下, 虚数这个概念才得以完善.
代数运算施行于事物的类或形式, 而算术运算则施行于具体的数. – 弗朗索瓦·韦达
同一时期的法国, 由于波旁王朝非常重视高等教育尤其是数学的普及, 因此在十六世纪之后诞生了大量像韦达、笛卡尔、费马、罗贝瓦尔、笛沙格、帕斯卡等对数学的发展起到巨大推动作用的杰出数学家. 韦达是数学符号系统化的探索先驱, 在他的著作《分析引论》、《论方程的整理与修正》、《有效的数值解法》中以辅音字母表示已知量, 以元音字母表示未知量, 这种做法被吉拉尔的《代数新发现》和奥特雷德的《实用分析术》所继承, 使用抽象符号描述数学过程的方法从此流传开来, 现在我们所习惯的用$a,b,c$表示已知量, 用$x,y,z$表示未知量的做法, 是由笛卡尔在韦达的符号系统上所改进的.
相比于代数学的蓬勃发展, 直到十六世纪中期, 欧洲才开始重新审视对几何学的研究. 文艺复兴时期的几何研究动力来源于对艺术创新的追求. 中世纪时期的宗教绘画具有很强的象征性与超现实性, 而到了人文主义引导下的文艺复兴时期, 艺术家们更关注于对现实生活的描述, 因此对透视法和投影法的研究也逐渐兴起. 意大利建筑学家布鲁内莱斯基是最早研究透视技术并试图运用几何方法进行绘画的艺术家, 这种思想最终被汇集到阿尔伯蒂所著的《论绘画》中, 成为了早期数学透视法的经典之作. 此外, 书中还引入了投影线和截影等概念并讨论了数学性质, 这成为了射影几何发展的起点. 而在投影方面, 法国的笛沙格与帕斯卡热衷于对这种新兴的几何分支进行研究, 形成了以笛沙格定理和帕斯卡定理为基础的射影几何理论, 但随着随着解析几何和微积分的创立, 对投影法的研究曾一度终止, 直到十九世纪, 法国数学家彭赛列才将射影几何重新作为独立的分支去研究.
对几何学进一步研究, 不仅提升了艺术作品描述现实世界的能力, 同时也解决了许多工程领域的问题. 例如在航海方面, 以三角学和射影几何为基础的更加精密的天文与地理观测, 提升了确定船只位置的精度, 这显著增强了人类对海洋的探索能力; 而在军事方面, 对圆锥曲线的研究催生了弹道学, 炮兵在发射炮弹前需要用斜角测量器设定火炮的发射角度; 在天文学方面, 圆锥曲线理论的进一步发展, 让开普勒能够用几何方法总结出轨道定律、面积定律和周期定律. 总的来说, 文艺复兴时期的数学发展为微积分和进代数学理论的诞生打下了良好的基础, 这种科技的快速发展是由社会生产过程中的实际需要而促成的, 而科技创新又带来的生产力的发展, 这种良性循环正是人类社会进步的主要动力.
数学在天文学中的应用
早在公元前五世纪, 毕达哥拉斯学派就通过观察月亮和北极星的变化规律, 提出了地球和其他行星都是球体的猜想, 但由于当时的人们坚信天体的运动完全遵照众神的意志, 因此这种思想并没有被广泛接受. 而出生于爱奥尼亚的阿那克萨戈拉却是一名不折不扣的渎神者, 他不仅否认了天体的神圣, 而且通过细致的分析对陨石、闪电、雷鸣、月蚀等自然现象给出了合理的解释, 完全否定了众神的作用. 因为这些违反传统宗教和神话的主张, 阿那克萨戈拉被指控为异端, 幸亏伯里克利出面调解才得以活命.
到了亚历山大时期, 希腊学者对天文和地理的研究终于从猜想上升到了理论推导与计算层面. 时任亚历山大图书馆研究员的埃拉托色尼被西方地理学家推崇为地理学之父, 不仅因为他是地理学这个词的创造者, 更是为了纪念他在大地测量学和地理学方面所做出的杰出贡献. 在埃拉托色尼的著作《地理学概论》中, 通过巧妙地结合天文学与大地测量学的知识, 用几何方法计算出了地球的周长约为 39375 公里, 这非常接近目前所测得的 40076 公里的结果. 此外, 埃拉托色尼在其另一部著作《地球大小的修正》中对赤道、回归线、极圈、太阳和月亮的大小、经纬度等问题或概念进行了研究, 尤其是对纬度和经度的定义对地理学的影响最为深刻.
到了罗马帝国时期, 身处北半球的人们已经知道通过地平线与北极星方向的夹角来确定当前的纬度, 而在南半球也可以通过南十字星座达到相同的效果. 古典时期的航海家就用观星的方式确定自己的航行方向与位置, 埃及天文学家托勒密在公元150年左右,绘制了人类历史上第一张以纬度线作为参照的世界地图, 但可惜的是, 由于没有合适的参照物用于测量经度, 如何确定自己在东西方向的位置就成为了困扰航海家长达数个世纪的问题. 尽管通过时差可以计算出当前所处的相对经度, 但这种方法非常依赖于精准的计时手段, 直到 1759 年哈里森发明航海计时器才真正实现了在航行过程中的精确定位.
由于地球的沿东西方向自转, 经度的起始位置就成了必须确定的国际标准. 托勒密曾规定以非洲西海岸的马德拉群岛所处的经线为零度, 因为这是当时所知的世界最西端. 在航海历史上, 亚速尔群岛、罗马、佛得角群岛、哥本哈根、圣彼得堡、费城等都曾被当作定义零度经线的标准, 最终在 1884 年于美国华盛顿特区召开的国际经度会议, 决定以经过格林尼治的经线为本初子午线, 法国代表在投票中弃权, 并坚持使用巴黎子午线作为经度起点直到 1911 年. 这次会议同时确定了时区与国际日期变更线, 并规定以格林尼治标准时间(GMT)作为国际标准. 后来因为考虑到地球自转的非匀速性, 在 1972 年 1 月 1 日之后, 以原子时为基础的协调世界时(UTC)成为了新的国际标准时间.
到了文艺复兴时期, 随着光学技术的发展, 天文望远镜开始出现在天文学家的手中, 借助这种廉价但十分有效的观测工具, 近代天文学的大门就此被打开. 1609 年的秋天, 身兼帕多瓦大学数学、科学和天文学教授的伽利略, 制作出了放大倍数为 32 倍的望远镜, 并借此完成了人类历史上首次对月面的科学观测. 之后几年, 伽利略陆续发现了木星的四颗卫星、土星光环、太阳黑子、太阳自转、金星的轨迹等, 为哥白尼的《天体运行论》提供了确凿的证据.
德国科学家开普勒在伽利略工作的基础上进行了改进, 将凸透镜作为目镜, 显著提升了观测的视野. 开普勒不仅是行星运动三大定律的发现者, 在光学方面也有着很深的造诣. 作为近代光学的奠基者, 开普勒善于使用几何方法对针孔成像等光学现象进行解释, 并提出了光的强度和光源的距离的平方成反比这一猜想. 在其著作《折光学》中记载了大量对折射现象的研究, 不仅提出了光线和光束的表示法, 还阐述了近代望远镜理论, 而且对人类视觉的成像原理也有所研究,
大航海时代
天文学与航海技术的发展, 让海洋探险家们能够在不迷失方向的前提下深入探索未知的海域, 这促成了十五世纪的航海热潮. 伴随着新航路的开辟, 东西方之间的文化和贸易交流变得更加频繁, 而自由贸易主义的出现, 让越来越多的中产阶级与贵族阶级成为了资本的受益者, 资本主义意识形态开始在欧洲萌芽. 随后的几个世纪, 针对美洲新大陆和旧世界弱小国家的殖民主义, 让更多的资本家完成了血腥的资本原始积累, 这是欧洲能够成为近代世界霸主的重要原因之一. 文艺复兴时期的地理大发现, 不仅是中世纪长期积累的科学技术的爆发式体现, 更代表着人文主义中自由探索的思想已经冲破了教会神学的桎梏, 从科技、经济、军事、文化等方面彻底颠覆了世界的秩序.
作为拜占庭帝国遗产的主要继承者, 横跨欧亚非大陆的奥斯曼帝国凭借得天独厚的地域优势, 垄断了西欧与亚洲之间的贸易路线, 这让不满足既得利益又忌惮于奥斯曼强大实力的欧洲各国, 只好通过开辟新航路的方式重新建立与中国和印度的贸易关系.
位于欧洲最西端的葡萄牙最早开始了对大西洋的探索, 受国王派遣的船队在 1434 到 1487 年间完成了对非洲沿岸的探索, 成功地越过好望角驶入印度洋, 并最终由达·伽马在 1498 年建立了从里斯本通往印度南部的新航路. 直到 1869 年苏伊士运河通航之前, 欧洲对印度洋沿岸各国以及中国的贸易都依赖于这条海上通道, 但随着贸易而来的不仅有财富, 还有殖民者的坚船利炮.
十五世纪末期, 刚刚完成收复失地运动的西班牙迫不及待地想要向外扩张, 在女王伊莎贝拉一世的资助下, 哥伦布得以向西进发去寻找通往印度的航路. 1492 年, 哥伦布在帕里亚湾南岸登上美洲大陆, 但信奉地圆说的他坚信这里就是所谓的印度, 并将当地土著统称为印第安人. 而根据后来的意大利航海家阿美利哥·维斯普西的实地考察, 人们终于发现这其实是一块新大陆, 并以阿美利哥的拉丁文名字命名了这块大陆. 西班牙皇室对哥伦布的发现大为赞赏, 进而命令他率领由十七艘大船组成的舰队去新大陆搜刮黄金. 在殖民者的残暴统治下, 中美洲的阿兹特克文明和南美的印加文明趋于毁灭, 美洲土著人口锐减 90%, 取而代之的则是大量的欧洲移民以及通过暴力手段建立的殖民地.
葡萄牙与西班牙为争夺殖民地、瓜分市场和掠夺财富, 关系一度剑拔弩张. 1493 年, 教皇亚历山大六世亲自出面调停, 象征性地授予两国”保护传教”的特权, 并大西洋中部设立了教皇子午线用于划分势力范围. 自此基础上, 西葡两国在 1494 年签订了托尔德西里亚斯条约, 规定巴西沿岸地区也被葡萄牙所管辖. 西班牙国王裴迪南和女王伊莎贝拉欣然同意这个条约, 因为它明确保护了西班牙在新大陆的既得利益; 而葡萄牙国王若昂二世则将这个条约的签订视为他一生中最大的胜利, 因为非洲沿海的所有资源都被葡萄牙所掌控, 与东南亚的香料贸易也为国家带来了巨额财富.
但西班牙并没有放弃对香料的追求. 1519 年, 斐迪南·麦哲伦在西班牙皇室的支持下发动了绕过美洲寻找通往真正印度的路线. 经过艰苦地探索, 麦哲伦终于在美洲大陆最南端发现了通往另一片广袤海域的通道——麦哲伦海峡, 而这片风平浪静、浩瀚无际的大洋就被麦哲伦命名为太平洋. 1521 年, 船队终于抵达菲律宾群岛, 但强推殖民主义和基督教的麦哲伦却激怒了当地土著酋长, 最终和数十名水手一同惨死于海滩上的争斗. 剩余的船员向西继续航行到了香料群岛, 最终在 1522 年将大量的肉桂、丁香、豆蔻等运抵西班牙. 麦哲伦的环球航行再次开辟了新的贸易路线, 因此葡萄牙不得不在 1529 年与西班牙签订萨拉戈萨条约来划分太平洋上的势力范围.
十六世纪的西班牙凭借着无敌舰队, 在蓬塔德尔加达海战中战胜葡萄牙, 成为了无可置疑的海上最强霸主. 而帕维亚之战、罗马之劫等陆地战争的胜利, 更进一步确立了西班牙在西欧与南欧的霸权地位. 随着 1580 年西班牙对葡萄牙的兼并, 原本属于葡萄牙的广阔殖民地也被纳入西班牙帝国的版图, 成为了人类历史上首个日不落帝国.
基于航海、历法推算以及天文观测的需要, 对三角形以及三角函数的研究在欧洲逐渐兴起. 奥地利数学家和天文学家波伊巴赫将托勒密的《天文学大成》翻译为拉丁文, 并使用阿拉伯数字编制了非常准确的正弦函数表. 他的学生雷格蒙塔努斯在著作《论各种三角形》中, 对平面三角形和球面三角形的性质进行了研究, 总结了球面正弦定理和余弦定理, 并在另一部著作《方位表》中给出了常用的正弦、余弦、正切函数的值. 随后经由维尔纳、哥白尼、雷提库斯等人的共同推动, 三角学的理论基础日趋完善, 余切、正割、余割等概念也陆续被添加. 平面三角与球面三角的系统化工作最终由法国数学家韦达在其著作《标准数学》和《斜截面》中完成. 到了十六世纪, 三角学已经完全从天文学中分离出来, 成为独立的数学分支.
中世纪的波斯、奥斯曼、威尼斯等中间商, 通过赚取巨额的香料差价获得了数量十分可观的金币, 国家实力也因此获得了显著增长. 但随着新航路的开辟, 西欧各国不仅解决了贸易路线被剥削的问题, 还通过开拓海外殖民地完成了资本的原始积累. 在枪炮、病菌与钢铁的背后, 是无数非洲、美洲、亚洲、澳洲原始民族的屈辱近代史; 在生产力飞速发展的工业革命背后, 是肮脏龌龊的奴役、剥削与征服. 曾经强大到令整个欧洲大陆为之胆寒的奥斯曼帝国, 也不可避免因科技与工业的落后走向了衰落, 直到一战结束后被彻底肢解.
变量数学与解析几何
出于科学成果在工程实践上的应用需要, 实用的计算技术一直是应用数学研究的重要课题, 尤其是在新兴事物大量涌现的文艺复兴时期, 贸易、银行、力学、天文等领域的复杂化与理论化对计算方法提出了更严格的要求. 1585 年, 荷兰数学家西蒙·斯蒂文在其著作《论十进》中系统地阐述了基于阿拉伯数字的十进制计数系统, 并提倡在计算过程中使用小数代替分数. 这种计数方法迅速在商业中普及, 尤其是在货币结算方面. 到了十七世纪, 对数的出现显著简化了天文、航海方面所遇到的复杂数值计算, 很快风靡欧洲.
近代数学的本质是变量数学, 是对运动与变化的事物进行描述和研究的一门学科. 与初等数学显著不同的是, 解析几何的出现让原本是彼此独立的代数与几何之间经由变量与坐标构建了联系. 十七世纪中叶, 法国数学家费马和笛卡尔分别独立地构建了用坐标描述几何图形的方法, 并给出了直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等常用平面曲线的方程. 后来, 英国数学家沃利斯将笛卡尔的坐标系从第一象限扩展为在常用的平面直角坐标系, 他的另一项重要贡献是将圆锥曲线定义为含两个变量的二次方程.
尽管在笛卡尔与费马的工作中涉及到了由平面推广到空间的坐标表示法, 但由于基础理论的缺失, 现在我们常用的三位坐标表示法直到十八世纪才被约翰·伯努利所发明, 并在之后的几十年里陆续被帕朗、克莱罗、欧拉等人所完善. 在空间曲线方面, 克莱罗首先提出通过两个曲面方程联立构建空间曲线方程的方法; 欧拉给出了空间坐标变换公式和锥面、柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面、双曲抛物面以及抛物柱面等曲面的空间表示形; 蒙日证明了二次曲面的平面截口为二次曲线, 并且还证明了单叶双曲面和双曲抛物面是直纹曲面.
解析几何中的另一个重要概念——极坐标在 1691 年被雅各布·伯努利所定义, 而直角坐标与极坐标的变换公式却是由瑞士数学家赫尔曼所提出. 后来在法国数学家拉格朗日的推动下, 向量的概念正式被数学和物理学所接受, 最终在十九世纪由美国数学家吉布斯和英国数学家亥维赛的共同努力下, 诞生了向量分析学科.
Cogito, ergo sum. （我思故我在） – 笛卡尔
解析几何通过数形结合的方式为自然科学的深入研究提供了新的方法, 作为变量数学的第一个标志性成果, 解析几何为近代数学家们打通了通往微积分的道路.
微积分的诞生与无穷小危机
自十四世纪欧洲文艺复兴以来, 由资本主义所激发的生产力潜能一直源源不断地促进着科学技术的发展, 经过数个世纪的积累, 以数学为代表的自然科学终于在十七世纪迎来了空前的突破. 在运动力学方面, 对非匀速运动物体的速度与加速度描述是困扰无数天文学家的问题; 在光学方面, 望远镜中透镜光程的计算需要确定透镜曲面任意一点的切线; 在弹道学方面, 涉及轨迹曲线函数的极大值与极小值问题也亟待解决; 在建筑学方面, 精确计算各种物体的面积、体积、重心等问题也愈发变得棘手. 作为一种能够有效解决上述问题的数学工具, 微积分就诞生于这个属于理性崇拜的时期.
我们现在所用的微积分, 是以牛顿和莱布尼茨的工作为基础, 经过柯西、博尔扎诺、黎曼、魏尔施特拉斯、戴德金、康托尔等人的共同努力, 在实数理论、函数理论和极限理论之上构建的数学分析工具. 积分与微分的思想诞生于更早的时期, 从阿基米德的穷竭法, 到开普勒的《测量酒桶的新立体几何》, 再到卡瓦列里的不可分量原理 , 无穷的概念一直渗透在对复杂面积与体积的求解中. 之后解析几何的出现让通过代数方法研究切线成为了可能, 从笛卡尔的圆切法, 到费马用逼近法求函数的极大值与极小值, 再到巴罗的微分三角形, 甚至是沃利斯对无穷级数的探索, 都为微分学的建立提供了坚实的思想基础. 这一切都为牛顿和莱布尼茨创造微积分理论提供了绝佳的条件.
牛顿的流数理论
《自然哲学的数学原理》是英国学者艾萨克·牛顿所创作的近代自然科学理论巨作, 于 1687 年首次出版. 书中探讨的核心内容是牛顿运动定律和万有引力定律, 为了从各种运动现象中探究经典力学, 牛顿发明了流数理论, 也就是后来为世人所熟知的微积分.
牛顿将流数理论分为正流数术（微分）和反流数术（积分）, 为了证明二者互为逆运算, 他构造了$f(x)$在$[0, x]$之间的面积积分函数$F(x)$. 由于当时没有导数这个词, 牛顿使用变化率来描述函数在某点的切线斜率, 因此接下来需要证明$F(x)$的变化率就是$f(x)$, 即$F’(x)=f(x)$. 考虑$f(x)$定义域上任意区间$[a, b]$内部, 总能找到一点$\xi$满足以下等式:
\begin{equation} F(b)-F(a)=f(\xi)(b-a) \end{equation}
这其实就是积分中值定理, 牛顿是通过几何手段直接观察出这个结论的, 而该定理的初步证明是由法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中提出, 因此普遍称之为拉格朗日中值定理. 区间$[a, b]$可以表示为$[a, a+\delta]$, 因此$F(x)$在$a$点的变化率满足以下等式:
\begin{equation} F’(a)=\frac{F(a+\delta)-F(a)}{a+\delta-a}=\frac{f(\xi)(a+\delta-a)}{a+\delta-a} \end{equation}
牛顿大胆猜测, 当$\delta$足够小时, 位于$[a, a+\delta]$内部的$\xi$的函数值$f(\xi)=f(a)$, 这相当于隐式给出了$\delta=0$的条件. 而在化简最终表达式时, 牛顿又将分子分母同时除以$\delta$, 这相当于给出了$\delta\neq0$的条件, 尽管最终得出了$F’(x)=f(x)$的结论, 但这种假设上的矛盾正是流数理论饱受诟病之处.
牛顿的另一项贡献是提出了二项式定理, 并将之用于证明或求出部分原函数. 以$f(x)=x^n$为例, 费马和卡瓦列里通过计算得出其原函数为$\frac{x^{n+1}}{n+1}$, 牛顿将其定义为如下形式:
\begin{equation} F(x+\delta)=F(x)+\delta f(x)=\frac{1}{n+1}(x+\delta)^{n+1} \end{equation}
左侧带入$F(x)=\frac{1}{n+1}x^{n+1}$, 右侧用广义二项式定理展开:
\begin{equation} \frac{1}{n+1}x^{n+1}+\delta f(x)=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+x^n\delta+\frac{n}{2}x^{n-1}\delta^2+… \end{equation}
两边同时除以$\delta$:
\begin{equation} f(x)=x^n+\frac{n}{2}x^{n-1}\delta+… \end{equation}
略去所有带$\delta$的余项可得$f(x)=x^n$, 尽管可以得到$x^n$的原函数为$\frac{x^{n+1}}{n+1}$的结论, 但证明过程中再次出现了关于$\delta$究竟是不是零的假设矛盾. 此外, 牛顿在构造流数理论时, 不仅没有对函数的连续性进行讨论, 也没有说明函数是否可导, 而且仅仅假设了原函数存在的情况, 这导致其理论存在大量漏洞.
莱布尼茨与微积分基本定理
与牛顿的流数理论不同, 德国数学家莱布尼茨的微积分理论非常符合直觉, 即将积分看作是无穷小量（微分）的加法. 以计算曲线$f(x)$的下面积为例, 莱布尼茨将其拆分成数个小矩形的和, 即:
\begin{equation} f(x)的下面积 \approx Sum(f(x)\Delta x) \end{equation}
当$\Delta x$足够小时, 约等号就可以替换为等号, 这就是莱布尼茨定义的积分操作. 为了表示区别, 他将Sum的首字母S拉长, 变成了我们现在熟悉的积分号$\int$. 而为了描述无穷小量, 莱布尼茨又定义了微分$dx$, 最终求积分的公式变为如下形式:
\begin{equation} Sum(f(x)\Delta x) \Rightarrow \int{f(x)dx} \end{equation}
在无穷小量的基础上, 莱布尼茨对切线和导数进行了更深入的研究. 他首先将$dy$定义为$dx$在曲线上所对应的增量, 因为$dx$和$dy$都是无穷小量, 则$f(x)$曲线中每一点的变化率可以表示为如下形式:
\begin{equation} f’(x)=\frac{dy}{dx} \end{equation}
莱布尼茨通过这种方式给出了曲线每一点切线斜率的求法, 也就是将导数定义为两个无穷小的比值. 莱布尼茨进一步研究了定积分与被积函数的原函数之间的关系, 同样以$f(x)$为例, 在区间$[a, b]$上有:
\begin{equation} f(b)-f(a)=\sum\Delta{y} \end{equation}
即$f(b)$与$f(a)$的差值就是纵坐标分量的累加, 当$\Delta{y}$足够小时, 就可以用微分$dy$替换, 接着我们带入导数的定义:
\begin{equation} f(b)-f(a)=\sum{dy}=\sum{f’(x)dx} \end{equation}
整理一下就可以得到牛顿-莱布尼茨公式:
\begin{equation} f(b)-f(a)=\int_{a}^{b}{f(x)dx} \end{equation}
而函数与原函数之间的关系就可以表示为:
\begin{equation} f(x) = \int_{0}^{x}f’(x)dx \end{equation}
十七世纪的微积分理论定义在无穷小量的基础上, 由于当时还不存在完善的极限理论, 牛顿和莱布尼兹都无法给出正确且严格的定义. 作为一种能够有效解决物理学及数学中有关速度、切线、面积、最值等问题的数学工具, 微积分在诞生之后就迅速得到推广, 让自然科学理论得以在之后的几个世纪里飞速发展. 但理论中所存在的漏洞, 尤其是对无穷小量的模糊定义, 最终引发了持续时间长达数百年的数学危机.
宗教改革与贝克莱悖论
在中世纪晚期, 沉浸于财富与权力的罗马教会将提倡爱与自由的崇高理念抛在脑后, 贪婪逐步取代救赎成为了教会冗杂官僚体系下的核心思想. 黑死病的肆虐, 削弱了基督教在底层民众与无产阶级心中的神圣地位; 资本主义思想的萌芽, 让中产阶级和新兴小资产阶级的信仰从宗教逐渐转变为对资本的狂热追求; 罗马教廷对政治和经济的过度干涉, 让统治阶级与贵族阶级的利益受到侵犯. 十五世纪的基督教就这样成为了当时社会矛盾的焦点.
如果说文艺复兴是新兴资产阶级为了撕破虚幻的神性面纱而引发的思想解放运动, 那么发生在同一时期的宗教改革就是统治阶级为了巩固自身权力而发起的政治改良运动. 事件的导火索是教皇利奥十世为了筹集修建圣伯多禄大教堂的资金而发放的赎罪券. 1517 年万圣节当天, 德国维登堡大学神学教授马丁·路德发表《九十五条论纲》公开抨击基督教罪行, 拉开了宗教改革的序幕. 神圣罗马帝国皇帝查理五世为了在政治上与法国抗衡就必须获得教皇的支持, 因此他反对宗教改革, 并将马丁·路德视为通缉犯. 受到教廷和国王迫害的马丁·路德被弗雷德里克二世送进瓦特堡加以保护, 将其的当做反对教宗的棋子. 随着马丁·路德的拥护者不断增多, 在瑞士的茨温利和法国的约翰·加尔文的推动下, 宗教改革运动如燎原之火一般迅猛发展, 在英国国王亨利八世创立英国国教时达到最高潮. 最终在 1555 年, 查理五世不得不与帝国境内改信新教的德意志诸侯缔结奥格斯堡宗教和约, 承认了新教的合法地位.
从表面上看, 这次宗教改革似乎削弱了罗马教会对人民思想和权利的控制, 但暗地里却提升了封建君主的统治力. 亨利八世以宗教改革为借口, 与新教合谋颁布了《最高治权法案》, 让国王代替教皇成为国家政教合一的唯一权威. 人民依旧受到压迫, 甚至让对英国教会对异教徒的迫害更加合理合法.
但不可否认的是, 基督教仍然控制着大部分优质的教育资源, 当时的欧洲大学几乎都设有专门用于研究神学三位一体的三一学院. 牛顿就毕业于剑桥大学三一学院, 并且一直都是虔诚的基督徒, 晚年逐渐沉迷于炼金术. 而微积分理论的挑战者, 毕业于都柏林三一学院的贝克莱大主教, 就是典型的将科学服务于宗教的虔诚信徒. 贝克莱攻击的主要针对包含逻辑矛盾的无穷小量, 在牛顿和莱布尼茨的推导过程中都出现了先除以无穷小再令其为零的做法, 因此他认为这是依靠双重错误得到了不科学却正确的结果, 并嘲笑既是零又不是零的无穷小量为已死量的幽灵, 而整个微积分理论包含大量的空虚、黑暗和混乱, 是分明的诡辩. 尽管这种抨击是出于维护神学的目的, 但却切实击中了微积分理论中的缺陷.
尽管微积分在诞生初期存在着明显的逻辑混乱, 但在实际应用中的卓有成效却足以吸引大批杰出人才对其理论基础进行不断地完善与扩充. 法国数学家罗尔称微积分为巧妙的谬论的汇集; 伏尔泰评价微积分是精确的计算和度量某种无从想象其存在的东西的艺术; 马克思也认为牛顿的微积分理论存在很强的神秘性, 但正是这种神秘性导致了在之后的几个世纪里涌现了大量致力于对数学基础进行研究的杰出数学家, 他们试图通过建立牢固的理论基础来消除上层应用中的不确定性, 属于数学分析的时代就此来临.
参考内容
- 李文林. 数学史概论-第2版[M]. 高等教育出版社, 2002.
- 贾雷德·戴蒙德. 枪炮、病菌与钢铁：人类社会的命运[M]. 上海世纪出版集团, 2019.
- 微积分的历史